La troisième série de référence, enfin utile

Pourquoi cette décomposition. Le cours donne $\sum n(n-1)q^{n-2}$ et $\sum n{q}^{n-1}$, mais rien sur $\sum n^2{q}^n$. L'identité $n^2=n(n-1)+n$ ramène exactement l'inconnue aux deux connues. Posons $q=\frac{1}{2}$.

Le premier morceau. Le terme $n=1$ est nul, on démarre donc à $n=2$ et l'on factorise $q^2$ :

$$\sum _{n=1}^{+\infty }n(n-1)q^n=q^2\sum _{n=2}^{+\infty }n(n-1)q^{n-2}=\frac{1}{4}\times \frac{2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}=\frac{1}{4}\times 16=4.$$

Le second morceau, déjà rencontré :

$$\sum _{n=1}^{+\infty }n{q}^n=q\sum _{n=1}^{+\infty }n{q}^{n-1}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\times 4=2.$$

Les deux séries convergeant, la linéarité s'applique et

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{n^2}{2^n}=4+2=6.$$

Le point à retenir. Ce calcul est mot pour mot celui de $E(X^2)$ pour une loi géométrique : on y écrit $X^2=X(X-1)+X$ pour la même raison — c'est $E[X(X-1)]$ que les séries de référence savent produire, pas $E(X^2)$. La variance de la loi géométrique sortira de là au chapitre suivant.