Le reste d'une série géométrique

Le reste. Comme $|q|<1$, la série $\sum q^n$ converge, donc son reste est bien défini. En posant $m=n-(N+1)$, qui parcourt $\mathbb{N}$ lorsque $n$ parcourt les entiers $\ge N+1$ :

$$\sum _{n=N+1}^{+\infty }{q}^n=\sum _{m\ge 0}{q}^{m+N+1}=q^{N+1}\sum _{m\ge 0}{q}^m=\frac{q^{N+1}}{1-q},$$

le facteur $q^{N+1}$ sortant de la somme car il ne dépend pas de l'indice de sommation.

Application numérique. Avec $q=0,8$, on a $1-q=0,2$, donc le reste vaut

$$R_N=\frac{(0,8{)}^{N+1}}{0,2}=5\times (0,8{)}^{N+1}.$$

La condition $R_N<10^{-3}$ s'écrit

$$(0,8{)}^{N+1}<2\times 10^{-4}.$$

En composant par $\ln$, strictement croissante, et en divisant par $\ln (0,8)<0$ — ce qui renverse l'inégalité :

$$N+1>\frac{\ln (2\times 10^{-4})}{\ln (0,8)}=\frac{-8,517}{-0,2231}\approx 38,2.$$

Le plus petit entier convenable est donc $N+1=39$, soit $N=38$.

Vérification. $(0,8{)}^{39}\approx 1,66\times 10^{-4}$, donc $R_{38}\approx 8,3\times 10^{-4}<10^{-3}$ ; tandis que $(0,8{)}^{38}\approx 2,08\times 10^{-4}$ donne $R_{37}\approx 1,04\times 10^{-3}>10^{-3}$. Le rang $38$ est bien le premier qui convient.

Le piège du signe. Diviser par $\ln (0,8)$, qui est négatif, change le sens de l'inégalité. L'oublier fait trouver $N+1<38,2$, donc n'importe quel petit $N$ — une réponse dont le contrôle numérique révèle aussitôt l'absurdité.