Le théorème de comparaison, démontré

Ce qu'on emploie. Le critère du cours pour les séries à termes positifs : une telle série converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Les deux séries sont bien à termes positifs, puisque $0\le u_n$ et $u_n\le v_n$ entraîne $0\le v_n$.

Première implication. Notons

$$U_N=\sum _{n=0}^N{u}_n,V_N=\sum _{n=0}^N{v}_n.$$

Supposons $\sum v_n$ convergente, de somme $V$. Comme $(V_N)$ est croissante (les $v_n$ sont positifs) et converge vers $V$, on a $V_N\le V$ pour tout $N$. De $u_n\le v_n$ terme à terme on tire, en sommant les $N+1$ inégalités,

$$U_N\le V_N\le V.$$

La suite $(U_N)$ est donc croissante et majorée par $V$ : d'après le critère, $\sum u_n$ converge. On obtient au passage ${\sum }_{n\ge 0}{u}_n\le {\sum }_{n\ge 0}{v}_n$.

Seconde implication. C'est la contraposée de la première. Supposons $\sum u_n$ divergente. Si $\sum v_n$ convergeait, la première implication donnerait la convergence de $\sum u_n$ — contradiction. Donc $\sum v_n$ diverge.

Le point délicat : la positivité est indispensable. Sans elle le résultat tombe. Prenons $u_n=-1$ et $v_n=0$ : on a bien $u_n\le v_n$, la série $\sum v_n$ converge (somme nulle) et pourtant $\sum u_n$ diverge, ses sommes partielles valant $-(N+1)$. C'est l'hypothèse $0\le u_n$ qui rend $(U_N)$ croissante, et c'est cette croissance qui transforme « majorée » en « convergente ».