Majorer le reste, pas le dernier terme

def somme(N):
    """Somme partielle de 1/n**2, pour N >= 1."""
    s = 0.0
    for n in range(1, N + 1):
        s = s + 1 / n ** 2
    return s

La majoration du reste. Pour $n\ge 2$ on a $\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$. En sommant de $N+1$ à $M$, tout se télescope :

$$\sum _{n=N+1}^M\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{N}-\frac{1}{M}\le \frac{1}{N}.$$

Ce majorant ne dépend pas de $M$ : en faisant tendre $M$ vers $+\infty$, le reste est majoré par $\frac{1}{N}$.

Trois décimales exactes demandent une erreur inférieure à $5\times 10^{-4}$, donc $\frac{1}{N}\le 5\times 10^{-4}$ (le reste est même strictement inférieur à $\frac{1}{N}$), soit $N\ge 2000$. On obtient somme(2000) $=1,644434$, à comparer à $\frac{{\pi }^2}{6}=1,644934$ : l'écart vaut $5\times 10^{-4}$, exactement la borne annoncée.

Le point à retenir. Le dernier terme ajouté vaut $\frac{1}{2000^2}=2,5\times 10^{-7}$, deux mille fois plus petit que l'erreur réelle. S'arrêter quand le terme est petit ne garantit donc rien : c'est le reste qu'il faut majorer, et lui seul mesure l'erreur.