Quand le signe change

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 9 — Étude élémentaire des séries · Nature d'une série

Énoncé

Montrer que $\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ converge. La série $\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ est-elle absolument convergente ? Que peut-on en conclure sur sa nature ?

Corrigé

Première série. Posons $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ . Alors

$∣ u_{n} ∣ = \frac{1}{n ^{2}},$

et $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge (résultat du cours). La série $\sum u_{n}$ est donc absolument convergente, et le théorème admis du cours — toute série absolument convergente est convergente — donne sa convergence.

Seconde série. Posons $v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ . Alors $∣ v_{n} ∣ = \frac{1}{n}$ , et $\sum \frac{1}{n}$ diverge : la série $\sum v_{n}$ n'est donc pas absolument convergente.

Ce qu'on peut en conclure : rien. La convergence absolue est une condition suffisante de convergence, pas nécessaire. Que $\sum ∣ v_{n} ∣$ diverge n'interdit pas à $\sum v_{n}$ de converger — cela empêche seulement d'utiliser ce théorème pour le prouver.

Le point délicat. Il faut résister au raisonnement « $\sum ∣ v_{n} ∣$ diverge donc $\sum v_{n}$ diverge » : c'est la réciproque du théorème, et elle est fausse. Un contre-exemple existe précisément avec cette série $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ , dont on peut montrer qu'elle converge — mais aucun outil de première année ne le fait, et l'énoncé ne le demande pas.

Le critère à retenir. Devant une série dont les termes changent de signe, le seul réflexe du programme est de regarder $\sum ∣ u_{n} ∣$ : si elle converge, c'est réglé ; si elle diverge, il faut chercher autre chose.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.