Trois natures, trois arguments différents

Première série — la condition nécessaire. Le terme général vérifie

$$\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+\frac{1}{n}}\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{1}{2}.$$

Or le cours affirme que si $\sum u_n$ converge, alors $u_n\to 0$. Ici la limite vaut $\frac{1}{2}\ne 0$ : la série diverge (on dit qu'elle diverge grossièrement).

Deuxième série — majoration par une série convergente. Les termes sont positifs, et pour $n\ge 1$,

$$0\le \frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2},$$

puisque $n^2+n\ge n^2>0$. La série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (résultat du cours). Les sommes partielles de $\sum \frac{1}{n^2+n}$, qui sont croissantes puisque les termes sont positifs, sont donc majorées par la somme de $\sum \frac{1}{n^2}$ : d'après le critère de convergence des séries à termes positifs, la série converge.

Troisième série — minoration par une série divergente. Pour $n\ge 1$ on a $\sqrt{n}\le n$, donc

$$\frac{1}{\sqrt{n}}\ge \frac{1}{n}>0.$$

Notons $S_N$ et $H_N$ les sommes partielles respectives. Alors $S_N\ge H_N$ pour tout $N$. Or $\sum \frac{1}{n}$ diverge et est à termes positifs, donc $H_N\to +\infty$ ; par comparaison, $S_N\to +\infty$ et la série diverge.

Ce que l'exercice sépare. Trois situations, trois outils : la limite du terme général ne conclut que lorsqu'elle est non nulle ; sinon il faut comparer, en majorant pour prouver la convergence et en minorant pour prouver la divergence.