Un décalage d'indice

Le décalage. Posons $m=n-1$ : quand $n$ parcourt les entiers $\ge 1$, $m$ parcourt $\mathbb{N}$. On a $n=m+1$, donc $2^n=2^{m+1}=2\times 2^m$, et

$$\sum _{n\ge 1}\frac{2^n}{(n-1)!}=\sum _{m\ge 0}\frac{2^{m+1}}{m!}=2\sum _{m\ge 0}\frac{2^m}{m!}.$$

La série exponentielle. La somme restante est celle de la série exponentielle en $x=2$, qui converge et vaut ${\mathrm{e}}^2$. Donc

$$\sum _{n\ge 1}\frac{2^n}{(n-1)!}=2{\mathrm{e}}^2\approx 2\times 7,389=14,778.$$

Contrôle numérique. Les premiers termes valent $2$, $4$, $4$, $\frac{16}{6}\approx 2,667$, $\frac{32}{24}\approx 1,333$, $\frac{64}{120}\approx 0,533$, de somme $14,533$ ; le reste apporte environ $0,24$. L'accord est bon.

La méthode. Le décalage d'indice sert à retrouver exactement la forme $\frac{x^m}{m!}$ avec le même indice au numérateur et dans la factorielle. Ne pas ajuster la puissance de $2$ en même temps que l'indice ferait perdre le facteur $2$ et donnerait ${\mathrm{e}}^2$ au lieu de $2{\mathrm{e}}^2$.