Un facteur constant ne change pas la nature

La série harmonique. Le cours établit que $\sum \frac{1}{n}$ diverge, alors que son terme général tend vers $0$. C'est le contre-exemple de référence : la condition « $u_n\to 0$ » est nécessaire à la convergence, jamais suffisante.

La série $\sum \frac{1}{2n}$. Son terme général est $\frac{1}{2}\times \frac{1}{n}$. Si elle convergeait, la linéarité permettrait de multiplier par $2$ et donnerait la convergence de $\sum \frac{1}{n}$ — ce qui est faux. Donc $\sum \frac{1}{2n}$ diverge.

Plus généralement, multiplier le terme général par une constante non nulle ne change pas la nature d'une série.

La troisième série. La série $\sum \frac{1}{2^n}$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$, donc elle converge. Si $\sum \left(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2^n}\right)$ convergeait, la linéarité appliquée à ces deux séries convergentes donnerait la convergence de la différence, c'est-à-dire de $\sum \frac{1}{2n}$ — ce qu'on vient d'exclure. Donc la troisième série diverge.

Le schéma commun. Dans les deux cas, on raisonne par l'absurde en utilisant la linéarité, qui ne s'applique qu'à des séries convergentes : c'est précisément l'hypothèse absurde qui la rend disponible.