Un facteur constant ne change pas la nature

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 9 — Étude élémentaire des séries · Nature d'une série

Énoncé

Rappeler pourquoi $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n}$ diverge alors que $\frac{1}{n} \to 0$ , puis en déduire la nature de $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{2 n}$ et de $\sum_{n \geq 1} (\frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 ^{n}})$ .

Corrigé

La série harmonique. Le cours établit que $\sum \frac{1}{n}$ diverge, alors que son terme général tend vers $0$ . C'est le contre-exemple de référence : la condition « $u_{n} \to 0$ » est nécessaire à la convergence, jamais suffisante.

La série $\sum \frac{1}{2 n}$ . Son terme général est $\frac{1}{2} \times \frac{1}{n}$ . Si elle convergeait, la linéarité permettrait de multiplier par $2$ et donnerait la convergence de $\sum \frac{1}{n}$ — ce qui est faux. Donc $\sum \frac{1}{2 n}$ diverge.

Plus généralement, multiplier le terme général par une constante non nulle ne change pas la nature d'une série.

La troisième série. La série $\sum \frac{1}{2 ^{n}}$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , donc elle converge. Si $\sum (\frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 ^{n}})$ convergeait, la linéarité appliquée à ces deux séries convergentes donnerait la convergence de la différence, c'est-à-dire de $\sum \frac{1}{2 n}$ — ce qu'on vient d'exclure. Donc la troisième série diverge.

Le schéma commun. Dans les deux cas, on raisonne par l'absurde en utilisant la linéarité, qui ne s'applique qu'à des séries convergentes : c'est précisément l'hypothèse absurde qui la rend disponible.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.