Un polynôme divisé par une factorielle

Première somme. Le terme d'indice $0$ est nul, on peut donc partir de $n=1$. Pour $n\ge 1$,

$$\frac{n}{n!}=\frac{n}{n(n-1)!}=\frac{1}{(n-1)!}.$$

D'où, en posant $m=n-1$ (qui parcourt $\mathbb{N}$ quand $n$ parcourt ${\mathbb{N}}^{\ast }$) :

$$\sum _{n\ge 0}\frac{n}{n!}=\sum _{n\ge 1}\frac{1}{(n-1)!}=\sum _{m\ge 0}\frac{1}{m!}=\mathrm{e}.$$

Seconde somme. L'astuce est d'écrire $n^2=n(n-1)+n$, car $n(n-1)$ simplifie deux facteurs de la factorielle :

$$\frac{n^2}{n!}=\frac{n(n-1)}{n!}+\frac{n}{n!}.$$

Le premier morceau est nul pour $n=0$ et $n=1$ ; pour $n\ge 2$,

$$\frac{n(n-1)}{n!}=\frac{n(n-1)}{n(n-1)(n-2)!}=\frac{1}{(n-2)!},$$

donc, avec $m=n-2$,

$$\sum _{n\ge 0}\frac{n(n-1)}{n!}=\sum _{n\ge 2}\frac{1}{(n-2)!}=\sum _{m\ge 0}\frac{1}{m!}=\mathrm{e}.$$

Les deux séries obtenues convergent, la linéarité s'applique, et avec la première question :

$$\sum _{n\ge 0}\frac{n^2}{n!}=\mathrm{e}+\mathrm{e}=2\mathrm{e}\approx 5,437.$$

Contrôle numérique. Les premiers termes de la seconde somme sont $0,1,2,\frac{9}{6}=1,5,\frac{16}{24}\approx 0,667,\frac{25}{120}\approx 0,208$, dont la somme vaut déjà $5,375$ ; le reste apporte environ $0,06$. L'accord avec $2\mathrm{e}\approx 5,437$ est bon.

La méthode générale. Pour une somme $\sum \frac{P(n)}{n!}$ avec $P$ polynomiale, on écrit $P(n)$ comme combinaison de $1$, $n$, $n(n-1)$, $n(n-1)(n-2)$… : chaque morceau se ramène alors, par décalage, à la série exponentielle en $x=1$.