Un quotient qui décide

Le quotient. Les termes sont strictement positifs pour $n\ge 1$, le quotient est donc défini :

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1{)}^2}{3^{n+1}}\cdot \frac{3^n}{n^2}=\frac{1}{3}{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2=\frac{1}{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{1}{3}.$$

Un rang à partir duquel le quotient est petit. La limite $\frac{1}{3}$ est strictement inférieure à $\frac{1}{2}$. Par définition de la limite appliquée à l'écart $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n\ge N$,

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}\le \frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2},\text{c’est-aˋ-dire}{u}_{n+1}\le \frac{1}{2}{u}_n.$$

Concrètement, $\frac{1}{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2\le \frac{1}{2}$ équivaut à ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2\le \frac{3}{2}$, donc à $1+\frac{1}{n}\le \sqrt{1,5}\approx 1,2247$, ce qui est vrai dès $n\ge 5$ : on peut prendre $N=5$.

Majoration par une géométrique. Pour $n\ge N$, une récurrence immédiate donne

$$0\le u_n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-N}{u}_N.$$

Conclusion. La série ${\sum }_{n\ge N}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-N}{u}_N$ est une série géométrique de raison $\frac{1}{2}$, avec $\left|\frac{1}{2}\right|<1$ : elle converge. Par comparaison de séries à termes positifs, ${\sum }_{n\ge N}{u}_n$ converge, et l'ajout des termes d'indices $1$ à $N-1$, en nombre fini, ne change pas la nature : ${\sum }_{n\ge 1}\frac{n^2}{3^n}$ converge.

Ce que le raisonnement contourne. On n'a jamais eu besoin de calculer la somme, ni de connaître un ordre de grandeur du terme général : seule la comparaison à une géométrique, à partir d'un certain rang, a servi. Et le choix de $\frac{1}{2}$ est arbitraire — n'importe quel nombre strictement compris entre $\frac{1}{3}$ et $1$ conviendrait.