Un télescopage fabriqué avec des factorielles

L'identité. Réduisons au même dénominateur $(n+1)!$, en utilisant $(n+1)!=(n+1)\times n!$ :

$$\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{(n+1)}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\frac{n}{(n+1)!}.$$

L'égalité est vraie pour tout $n\ge 1$.

Somme partielle. Posons $a_n=\frac{1}{n!}$. Le terme général s'écrit $a_n-a_{n+1}$, donc la somme partielle télescope :

$$S_N=\sum _{n=1}^N(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{N+1}=1-\frac{1}{(N+1)!}.$$

Limite. La factorielle tend vers $+\infty$, donc $\frac{1}{(N+1)!}\to 0$ et $S_N\to 1$. La série converge et

$$\sum _{n\ge 1}\frac{n}{(n+1)!}=1.$$

Contrôle numérique. Les termes valent $\frac{1}{2}=0,5$, $\frac{2}{6}\approx 0,3333$, $\frac{3}{24}=0,125$, $\frac{4}{120}\approx 0,0333$, $\frac{5}{720}\approx 0,00694$, de somme $0,99857$ ; la formule donne $S_5=1-\frac{1}{720}\approx 0,99861$. ✔

La méthode. Devant $\sum \frac{P(n)}{(n+k)!}$, on cherche à écrire le terme général comme une différence $a_n-a_{n+1}$. Ici l'idée était de remplacer le numérateur $n$ par $(n+1)-1$, qui fait apparaître la simplification $\frac{n+1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}$.