Un télescopage qu'il faut fabriquer

Factoriser sous le logarithme. Pour $n\ge 2$ :

$$1-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2},$$

donc $u_n=\ln (n-1)+\ln (n+1)-2\ln n$.

Reconnaître une différence. Posons $v_n=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln (n+1)-\ln n$ pour $n\ge 1$. Alors

$$v_n-v_{n-1}=(\ln (n+1)-\ln n)-(\ln n-\ln (n-1))=u_n.$$

C'est là le seul point délicat : la suite qui télescope n'est pas donnée par l'énoncé, il faut la deviner, et $u_n$ s'écrit comme une différence de différences.

Le télescopage. Pour $N\ge 2$ :

$$S_N=\sum _{n=2}^N(v_n-v_{n-1})=v_N-v_1=\ln \left(\frac{N+1}{N}\right)-\ln 2.$$

La limite. $\frac{N+1}{N}=1+\frac{1}{N}\to 1$, et $\ln$ est continue en $1$, donc $v_N\to \ln 1=0$. La série converge et

$$\sum _{n=2}^{+\infty }\ln \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=-\ln 2\approx -0,693.$$

Le point à retenir. La somme est négative, ce qui est cohérent : chaque terme est le logarithme d'un nombre strictement compris entre $0$ et $1$. Et l'on retrouve le lien suite-série dans son sens le plus utile — la convergence de $\sum (v_n-v_{n-1})$ est celle de $(v_n)$.