Une décomposition qui fait tout télescoper

La décomposition. Réduisons le membre de droite au même dénominateur :

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.$$

L'égalité est établie pour tout $n\ge 1$ (les deux facteurs $2n-1$ et $2n+1$ sont non nuls).

Somme partielle. Posons $a_n=\frac{1}{2n-1}$, de sorte que le terme général vaut $\frac{1}{2}(a_n-a_{n+1})$ — c'est bien une différence de deux termes consécutifs de la suite $(a_n)$, puisque $a_{n+1}=\frac{1}{2n+1}$. La somme partielle télescope :

$$S_N=\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}(a_n-a_{n+1})=\frac{1}{2}(a_1-a_{N+1})=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right).$$

Limite. Comme $\frac{1}{2N+1}\to 0$ quand $N\to +\infty$, la suite $(S_N)$ converge, donc la série converge, et

$$\sum _{n\ge 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}.$$

Contrôle numérique. Les cinq premiers termes valent $\frac{1}{3}\approx 0,3333$, $\frac{1}{15}\approx 0,0667$, $\frac{1}{35}\approx 0,0286$, $\frac{1}{63}\approx 0,0159$, $\frac{1}{99}\approx 0,0101$, de somme $0,4546$ ; la formule donne $S_5=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{11}\right)=\frac{5}{11}\approx 0,4545$. ✔

Pourquoi le télescopage est la seule voie. Hors des séries usuelles (géométrique, ses dérivées, exponentielle), c'est le seul procédé élémentaire donnant une somme exacte. Tout l'exercice consiste à faire apparaître la différence $a_n-a_{n+1}$.