Une divergence qui se télescope

On réécrit le terme général :

$$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln (n+1)-\ln n.$$

La somme partielle se télescope entièrement :

$$S_N=\sum _{n=1}^N(\ln (n+1)-\ln n)=\ln (N+1)-\ln 1=\ln (N+1).$$

Or $\ln (N+1)\to +\infty$ : la série diverge.

Ce que l'exemple enseigne. Le terme général tend pourtant vers $0$ (car $\ln (1+\frac{1}{n})/\frac{1}{n}\to 1$). Voilà une deuxième série, après $\sum \frac{1}{n}$, où la condition nécessaire est remplie sans que la série converge — et le télescopage donne ici la divergence de façon exacte, sans aucune comparaison.

Au passage, $S_N=\ln (N+1)$ donne la vitesse exacte de cette divergence : les sommes partielles croissent comme un logarithme, donc très lentement — il faut $8103$ termes pour que $S_N$ dépasse $9$.