Une majoration qui suffit

Les termes sont positifs. Pour $n\ge 1$, $n^2+1>0$, donc $\frac{1}{n^2+1}>0$ : on est dans le cadre des séries à termes positifs, où la comparaison s'applique.

La majoration. Pour $n\ge 1$,

$$n^2+1\ge n^2>0⟹0<\frac{1}{n^2+1}\le \frac{1}{n^2},$$

l'inégalité entre les inverses étant renversée car les deux quantités sont strictement positives.

Conclusion. La série ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}$ converge (résultat du cours). Ses sommes partielles sont donc majorées par sa somme, et par l'inégalité ci-dessus les sommes partielles de $\sum \frac{1}{n^2+1}$ le sont aussi. Étant de plus croissantes (les termes sont positifs), elles convergent : la série ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^2+1}$ converge.

Ce que l'on n'obtient pas. La comparaison donne la nature, pas la valeur. On sait seulement que la somme est inférieure à celle de $\sum \frac{1}{n^2}$ ; sa valeur exacte n'est pas accessible avec les outils de première année.