Une série à paramètre

Les termes sont strictement positifs, on peut donc raisonner par comparaison.

Cas $0<a<1$. Pour $n\ge 1$, on a $\frac{1}{n}\le 1$, donc

$$0<\frac{a^n}{n}\le a^n.$$

La série $\sum a^n$ est géométrique de raison $a$ avec $|a|<1$ : elle converge. Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum \frac{a^n}{n}$ converge.

Cas $a=1$. La série devient $\sum \frac{1}{n}$, la série harmonique, qui diverge (résultat du cours).

Cas $a>1$. Montrons que le terme général ne tend pas vers $0$ — c'est même l'inverse. Écrivons $a=1+h$ avec $h>0$. La formule du binôme donne, pour $n\ge 2$ et tous les termes étant positifs,

$$a^n=(1+h{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})h^k\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})h^2=\frac{n(n-1)}{2}{h}^2,$$

en ne gardant que le terme d'indice $k=2$. Donc

$$\frac{a^n}{n}\ge \frac{(n-1)h^2}{2}\underset{n\to +\infty }{\to }+\infty .$$

Le terme général ne tend pas vers $0$ : la série diverge grossièrement.

Conclusion.

$$\sum _{n\ge 1}\frac{a^n}{n}\text{ converge si et seulement si }0<a<1.$$

Le point délicat. Pour $a>1$, il ne suffit pas de dire « l'exponentielle l'emporte » : la minoration par un seul terme du binôme fournit une preuve complète, avec des inégalités explicites. Et pour $a=1$, aucune comparaison ne tranche — c'est le résultat du cours sur la série harmonique qui décide, ce qui montre que le cas frontière doit toujours être traité à part.