Une série arithmético-géométrique

On factorise pour faire apparaître la série de référence :

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{n}{2^n}=\sum _{n=1}^{+\infty }n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{+\infty }n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\times 4=2.$$

Le facteur $\frac{1}{2}$ est indispensable : la formule $\sum n{q}^{n-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$ porte sur l'exposant $n-1$, pas $n$. L'oublier donnerait $4$.

Vérification numérique : les premiers termes valent $0,5+0,5+0,375+0,25+0,156+\cdots$, et la somme des dix premiers vaut déjà $1,989$.