Une série dérivée

C'est la série ${\sum }_{n\ge 1}n{q}^{n-1}$ avec $q=\frac{1}{3}$, de somme $\frac{1}{(1-q{)}^2}$ pour $|q|<1$. Donc

$$\sum _{n=1}^{+\infty }n{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=\frac{1}{{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{9}{4}=2,25.$$

D'où vient la formule. Elle s'obtient en dérivant terme à terme ${\sum }_{n\ge 0}{q}^n=\frac{1}{1-q}$ — opération licite à l'intérieur du disque de convergence. C'est la deuxième des trois séries de référence du chapitre, celle qui donnera l'espérance de la loi géométrique.