Une série géométrique avec un paramètre

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 9 — Étude élémentaire des séries · Séries géométriques et exponentielle

Énoncé

Pour quelles valeurs de $x \in R$ la série $\sum_{n \geq 0} (\frac{x}{2})^{n}$ converge-t-elle ? Calculer alors sa somme, puis déterminer $x$ pour que cette somme vaille $4$ .

Corrigé

Nature. Il s'agit d'une série géométrique de raison $q = \frac{x}{2}$ . Le cours établit qu'une telle série converge si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ , soit

$\frac{x}{2} < 1 ⟺ ∣ x ∣ < 2 ⟺ x \in] - 2, 2 [.$

La somme. Pour $x \in] - 2, 2 [$ ,

$n \geq 0 \sum (\frac{x}{2})^{n} = \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = \frac{1}{\frac{2 - x}{2}} = \frac{2}{2 - x} .$

L'équation. On cherche $x \in] - 2, 2 [$ tel que

$\frac{2}{2 - x} = 4 ⟺ 2 = 4 (2 - x) = 8 - 4 x ⟺ 4 x = 6 ⟺ x = \frac{3}{2} .$

Cette valeur appartient bien à $] - 2, 2 [$ : elle est acceptable.

Vérification. Pour $x = \frac{3}{2}$ , la raison vaut $q = \frac{3}{4}$ et la somme $\frac{1}{1 - 3/4} = 4$ . ✔

Le point à ne pas oublier. Vérifier que la solution trouvée appartient à l'intervalle de convergence est une étape du raisonnement, pas une politesse : l'équation $\frac{2}{2 - x} = 1$ donnerait $x = 0$ , mais l'équation $\frac{2}{2 - x} = \frac{1}{2}$ donnerait $x = - 2$ , valeur exclue — la série $\sum (- 1)^{n}$ diverge.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.