Une somme télescopique

La décomposition se vérifie en réduisant au même dénominateur :

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n(n+2)}.$$

La somme partielle se télescope, mais avec un décalage de deux : chaque terme négatif s'annule contre le terme positif situé deux rangs plus loin. Il reste donc deux termes à chaque bout :

$$S_N=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right).$$

La limite : les deux derniers termes tendent vers $0$, donc

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}.$$

Le décalage est le piège : avec $\frac{1}{n(n+1)}$ il ne resterait qu'un terme et la somme vaudrait $1$. Écrire les premiers termes à la main avant de conclure est le seul moyen sûr de voir ce qui survit.