De combien le rang peut-il monter ?

Notations. Posons $V=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$ et $W=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p,v)$. Par définition du rang, $\dim (V)=r$ et $\mathrm{rg}(u_1,\dots ,u_p,v)=\dim (W)$.

Première inégalité : $\dim (W)⩾r$. Toute combinaison des $u_i$ est aussi une combinaison des $u_i$ et de $v$ (avec le coefficient $0$ devant $v$). Donc $V\subset W$, et un sous-espace d'un espace a une dimension inférieure : $r=\dim (V)⩽\dim (W)$.

Deuxième inégalité : $\dim (W)⩽r+1$. Soit $(f_1,\dots ,f_r)$ une base de $V$. Tout élément de $W$ s'écrit ${\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_p{u}_p+\mu v$, et la partie en $u_i$ est dans $V$, donc s'exprime avec les $f_j$ : ainsi $W=\mathrm{Vect}(f_1,\dots ,f_r,v)$, engendré par $r+1$ vecteurs, de dimension au plus $r+1$.

Les deux encadrements donnent $\dim (W)\in \{r,r+1\}$ puisque la dimension est un entier.

Discussion des deux cas.

Cas $v\in V$. Alors $v$ est combinaison des $u_i$, donc toute combinaison des $u_i$ et de $v$ se réécrit sans $v$ : $W=V$ et le rang reste $r$.

Cas $v\notin V$. Complétons : la famille $(f_1,\dots ,f_r)$ est libre et $v$ n'appartient pas à $\mathrm{Vect}(f_1,\dots ,f_r)=V$, donc $(f_1,\dots ,f_r,v)$ est libre — c'est le critère d'ajout d'un vecteur à une famille libre. Comme elle engendre $W$, c'en est une base et $\dim (W)=r+1$.

Conséquence. Le rang monte d'au plus $1$ par vecteur ajouté : il faut donc au moins $\dim (E)$ vecteurs pour engendrer $E$.