Des degrés échelonnés

Le plan. La famille compte $4$ éléments et $\dim ({\mathbb{R}}_3[x])=3+1=4$. Par le théorème « la moitié du travail suffit », il suffit de prouver qu'elle est libre pour conclure que c'est une base.

Liberté. Supposons $${\lambda }_1\cdot 3+{\lambda }_2(2x-1)+{\lambda }_3(x^2+x)+{\lambda }_4\cdot 4x^3=0.$$ On regarde les coefficients en partant du plus haut degré, car c'est là que le moins de termes se rencontrent.

• Coefficient de $x^3$ : seul le quatrième polynôme en fournit, il vaut $4{\lambda }_4$. Donc ${\lambda }_4=0$.
• Coefficient de $x^2$ : seul le troisième en fournit, il vaut ${\lambda }_3$. Donc ${\lambda }_3=0$.
• Coefficient de $x$ : il vaut $2{\lambda }_2+{\lambda }_3=2{\lambda }_2$, puisque ${\lambda }_3=0$. Donc ${\lambda }_2=0$.
• Coefficient constant : il vaut $3{\lambda }_1-{\lambda }_2=3{\lambda }_1$. Donc ${\lambda }_1=0$.

Tous les coefficients sont nuls : la famille est libre, c'est donc une base de ${\mathbb{R}}_3[x]$.

La règle générale illustrée ici. Une famille de polynômes non nuls, de degrés deux à deux distincts, est toujours libre : on descend les degrés un par un, et à chaque étape un seul polynôme peut fournir le monôme de plus haut degré restant.