Des matrices libres

Supposons $\lambda A+\mu B+\nu C=0$, c'est-à-dire

$$\left(\begin{array}{cc}\lambda & \lambda +\mu \\ \mu +\nu & \nu \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Le coefficient en haut à gauche donne $\lambda =0$, celui en bas à droite donne $\nu =0$. Il reste $\lambda +\mu =0$, d'où $\mu =0$.

La famille est libre, donc $\dim (\mathrm{Vect}(A,B,C))=3$. Ce n'est pas une base de ${\mathcal{M}}_{2,2}(\mathbb{R})$, qui est de dimension $4$ : le théorème « la moitié du travail suffit » ne s'applique pas ici, puisque le cardinal $3$ diffère de la dimension $4$.