Des polynômes qui s’annulent en deux points

C'est un sous-espace. Le polynôme nul s'annule en $1$ et en $-1$. Et si $P$ et $Q$ sont dans $F$, alors pour tous réels $\lambda ,\mu$ : $(\lambda P+\mu Q)(1)=\lambda P(1)+\mu Q(1)=0$, et de même en $-1$.

Description. Un polynôme qui s'annule en $1$ est divisible par $x-1$ ; s'annulant aussi en $-1$, il est divisible par $(x-1)(x+1)=x^2-1$. On écrit donc $P=(x^2-1)Q$, et la contrainte $\mathrm{deg}P⩽3$ impose $\mathrm{deg}Q⩽1$, soit $Q=\alpha +\beta x$ :

$$P=\alpha (x^2-1)+\beta (x^3-x).$$

Réciproquement, tout polynôme de cette forme est de degré au plus $3$ et s'annule en $\pm 1$. Donc $F=\mathrm{Vect}(x^2-1,x^3-x)$.

Base. Ces deux polynômes sont non nuls et de degrés distincts, $2$ et $3$ : une telle famille est libre — le coefficient du plus haut degré ne peut venir que d'un seul des deux. C'est donc une base, et $\dim (F)=2$.

Contrôle. Deux conditions indépendantes retirent deux degrés de liberté aux quatre de ${\mathbb{R}}_3[x]$ (qui est de dimension $4$, et non $3$ : de $a_0$ à $a_3$) : $4-2=2$.