Deux écritures du même plan

Ce qu'on montre. Une égalité d'ensembles se démontre par double inclusion, et il suffit ici de montrer que chaque générateur de l'un appartient à l'autre, la stabilité faisant le reste. Posons $u_1=(1,2,1)$, $u_2=(0,1,1)$, $v_1=(1,3,2)$, $v_2=(1,1,0)$.

$G\subset F$. On cherche $v_1$ comme combinaison de $u_1,u_2$ : $\lambda u_1+\mu u_2=(\lambda ,2\lambda +\mu ,\lambda +\mu )$. L'égalité avec $(1,3,2)$ impose $\lambda =1$, puis $2+\mu =3$ donc $\mu =1$ ; on vérifie la troisième coordonnée : $\lambda +\mu =2$. C'est bien $2$. Donc $v_1=u_1+u_2$.

De même $v_2=(1,1,0)$ impose $\lambda =1$ puis $\mu =-1$, et la troisième coordonnée $\lambda +\mu$ vaut bien $0$ : donc $v_2=u_1-u_2$. Les deux générateurs de $G$ sont dans $F$ : $G\subset F$.

$F\subset G$. De $v_1=u_1+u_2$ et $v_2=u_1-u_2$ on tire, en additionnant et en soustrayant, $u_1=\frac{1}{2}(v_1+v_2)$ et $u_2=\frac{1}{2}(v_1-v_2)$. Les générateurs de $F$ sont dans $G$, donc $F\subset G$.

Conclusion et dimension. $F=G$. La famille $(u_1,u_2)$ est libre : si $\lambda u_1+\mu u_2=0$, la première coordonnée donne $\lambda =0$, puis la deuxième donne $\mu =0$. C'est donc une base de $F$, et $\dim (F)=\dim (G)=2$ : $F$ est un plan de ${\mathbb{R}}^3$.

Le point délicat. Constater que les deux familles engendrent des plans ne suffit pas : deux plans distincts ont la même dimension. Ce sont les appartenances croisées qui prouvent l'égalité.