Deux familles de deux polynômes

Première famille : liée. On remarque que $2+4x=2(1+2x)$. La relation $$1\cdot (2+4x)-2\cdot (1+2x)=0$$ est une combinaison linéaire nulle dont les coefficients $(1,-2)$ ne sont pas tous nuls : la famille est liée.

Le critère est général pour deux vecteurs : une famille de deux vecteurs est liée si et seulement si l'un est multiple de l'autre. Ici le rapport vaut $2$ sur les deux coefficients à la fois, ce qu'il fallait vérifier.

Seconde famille : libre. Supposons $\lambda (1+x)+\mu (1+x^2)=0$, c'est-à-dire $$(\lambda +\mu )+\lambda x+\mu x^2=0.$$ Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Le coefficient de $x$ donne $\lambda =0$, celui de $x^2$ donne $\mu =0$. La famille est libre.

On pouvait aussi conclure sans calcul : $1+x$ et $1+x^2$ ont des degrés distincts ($1$ et $2$) et sont non nuls, donc ni l'un ni l'autre ne peut être multiple de l'autre.

Attention. Cette famille libre n'est pas une base de ${\mathbb{R}}_2[x]$ : elle compte $2$ vecteurs alors que $\dim ({\mathbb{R}}_2[x])=3$.