Intersection de deux plans

$\dim (F)=2$ : les deux vecteurs générateurs ne sont pas proportionnels.

$\dim (G)=2$ : $G$ est le noyau d'une seule équation linéaire homogène non triviale de ${\mathbb{R}}^3$, c'est un plan. Une base : $((1,-1,0),(1,0,-1))$.

L'intersection. Un vecteur de $F$ s'écrit $\lambda (1,0,1)+\mu (0,1,1)=(\lambda ,\mu ,\lambda +\mu )$. Il appartient à $G$ si et seulement si

$$\lambda +\mu +(\lambda +\mu )=0,\text{c’est-aˋ-dire}2(\lambda +\mu )=0,\text{soit}\mu =-\lambda .$$

Les vecteurs cherchés sont donc les $\lambda (1,0,1)-\lambda (0,1,1)=\lambda (1,-1,0)$. Ainsi $F\cap G=\mathrm{Vect}((1,-1,0))$, de dimension $1$ : une base est $((1,-1,0))$.

Contrôle. Deux plans distincts de ${\mathbb{R}}^3$ se coupent selon une droite. On trouve bien la dimension $1$ — et $F\ne G$, puisque $(1,0,1)$ appartient à $F$ mais pas à $G$ ($1+0+1=2\ne 0$).