La droite des coordonnées égales

$F$ est un sous-espace vectoriel. La condition $x=y=z$ s'écrit comme le système homogène $x-y=0$ et $y-z=0$ : l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

Vérifions tout de même à la main. Le vecteur nul $(0,0,0)$ a bien ses trois coordonnées égales. Et si $u=(a,a,a)$ et $v=(b,b,b)$ sont dans $F$, alors pour tous réels $\lambda ,\mu$, $$\lambda u+\mu v=(\lambda a+\mu b,\lambda a+\mu b,\lambda a+\mu b),$$ dont les trois coordonnées sont encore égales : $\lambda u+\mu v\in F$.

Une base. Un élément de $F$ s'écrit $(a,a,a)=a\cdot (1,1,1)$ : ainsi $$F=\mathrm{Vect}((1,1,1)).$$ La famille réduite au seul vecteur $(1,1,1)$ engendre donc $F$, et elle est libre puisque ce vecteur est non nul (si $a(1,1,1)=(0,0,0)$, la première coordonnée donne $a=0$).

Conclusion. $((1,1,1))$ est une base de $F$ et $\dim (F)=1$ : $F$ est une droite vectorielle de ${\mathbb{R}}^3$.

Contrôle. Deux équations indépendantes dans ${\mathbb{R}}^3$ retirent deux degrés de liberté : $3-2=1$. La dimension trouvée est cohérente.