Le rang d'une famille de matrices

La méthode. On lit les coordonnées de chaque matrice dans la base canonique $(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2})$, ce qui ramène le problème à ${\mathbb{R}}^4$ : $$A\leftrightarrow (1,2,0,1),B\leftrightarrow (0,1,1,0),C\leftrightarrow (2,3,-1,2).$$ Ce transport est licite : la lecture des coordonnées préserve les combinaisons linéaires.

Recherche d'une relation. Essayons $C=\alpha A+\beta B$. La première coordonnée donne $\alpha =2$ ; la troisième donne $\beta =-1$. Testons ce couple sur les deux autres :

• deuxième coordonnée : $2\cdot 2+(-1)\cdot 1=3$. C'est bien $3$.
• quatrième : $2\cdot 1+(-1)\cdot 0=2$. C'est bien $2$.

Donc $C=2A-B$, ce qui se relit directement sur les matrices : $$2\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)=C.$$

Conclusion. $C\in \mathrm{Vect}(A,B)$, donc $\mathrm{Vect}(A,B,C)=\mathrm{Vect}(A,B)$. Reste à vérifier que $(A,B)$ est libre : si $\lambda A+\mu B=0$, le coefficient en bas à gauche vaut $\mu$, donc $\mu =0$ ; celui en haut à gauche vaut $\lambda$, donc $\lambda =0$.

Ainsi $(A,B)$ est une base de $\mathrm{Vect}(A,B,C)$ et $\mathrm{rg}(A,B,C)=2$.

Le point délicat. Trois matrices d'ordre $2$ vivent dans un espace de dimension $4$ : rien n'imposait de relation. C'est le calcul seul qui l'a exhibée.