Le rang d’une famille de polynômes

Le principe. Le rang d'une famille de polynômes est celui de leurs colonnes de coordonnées dans une base fixée — ici la base canonique $(1,x,x^2,x^3)$.

Coordonnées. $P_1=(1,1,0,0)$, $P_2=(0,1,1,0)$, $P_3=(1,2,1,0)$, $P_4=(-1,0,0,1)$. On les range en lignes et l'on échelonne :

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 2& 1& 0\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right)\underset{L_4\leftarrow L_4+L_1}{\overset{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right)\underset{L_4\leftarrow L_4-L_2}{\overset{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 1\end{array}\right).$$

Trois lignes non nulles : le rang vaut $3$.

Une base extraite. La ligne annulée est celle de $P_3$ ; les pivots proviennent de $P_1$, $P_2$ et $P_4$. La famille $(P_1,P_2,P_4)$ est donc libre et engendre le même sous-espace : c'en est une base.

La relation, en clair. $P_3=P_1+P_2$, ce qu'on vérifie sans échelonner : $(1+x)+(x+x^2)=1+2x+x^2$. C'est bien $P_3$.

Le point à retenir. Un rang ne se calcule jamais « sur les polynômes » : on le calcule sur leurs coordonnées, et l'on remonte. Le résultat ne dépend pas de la base choisie, puisque le sous-espace engendré, lui, n'en dépend pas.