Les matrices dont chaque ligne se compense

$F$ est un sous-espace vectoriel. On vérifie les deux points de la définition.

La matrice nulle appartient à $F$ : ses coefficients valent tous $0$, donc $0+0=0$ pour chacune des deux conditions.

Stabilité par combinaison linéaire : soient $M$ et $M^{\prime }$ dans $F$, de coefficients $(a,b,c,d)$ et $(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime })$, et soient $\lambda ,\mu$ réels. La matrice $\lambda M+\mu M^{\prime }$ a pour coefficients $(\lambda a+\mu a^{\prime },\lambda b+\mu b^{\prime },\lambda c+\mu c^{\prime },\lambda d+\mu d^{\prime })$. La somme de ses deux premiers vaut $$\lambda (a+b)+\mu (a^{\prime }+b^{\prime })=\lambda \cdot 0+\mu \cdot 0=0,$$ et de même pour les deux derniers. Donc $\lambda M+\mu M^{\prime }\in F$.

Une base. Les conditions s'écrivent $b=-a$ et $d=-c$ : les paramètres libres sont $a$ et $c$, et $$\left(\begin{array}{cc}a& -a\\ c& -c\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 0\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& -1\end{array}\right).$$ En notant $N_1$ et $N_2$ ces deux matrices, l'écriture ci-dessus montre que $(N_1,N_2)$ engendre $F$ ; elle est libre, car si $a{N}_1+c{N}_2=0$ le coefficient en haut à gauche donne $a=0$ et celui en bas à gauche $c=0$. Donc $\dim (F)=2$.

Contrôle. ${\mathcal{M}}_{2,2}(\mathbb{R})$ est de dimension $4$ ; deux équations linéaires indépendantes retirent deux degrés de liberté, et $4-2=2$. La dimension trouvée est cohérente.