Les matrices qui commutent avec une matrice donnée

$F$ est un sous-espace vectoriel.

La matrice nulle y est : $D\cdot 0=0=0\cdot D$.

Stabilité : soient $M,M^{\prime }\in F$ et $\lambda ,\mu$ réels. Le produit matriciel étant linéaire en chacun de ses facteurs, $D(\lambda M+\mu M^{\prime })=\lambda DM+\mu D{M}^{\prime }=\lambda MD+\mu M^{\prime }D=(\lambda M+\mu M^{\prime })D$, le passage du milieu utilisant exactement les deux hypothèses. Donc $\lambda M+\mu M^{\prime }\in F$.

Traduction en équations. Posons $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Alors $$DM=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 3c& 3d\end{array}\right),MD=\left(\begin{array}{cc}a& 3b\\ c& 3d\end{array}\right).$$ L'égalité coefficient par coefficient donne $a=a$ et $3d=3d$ (toujours vraies), puis $b=3b$ et $3c=c$, c'est-à-dire $b=0$ et $c=0$.

Une base. $F$ est l'ensemble des matrices diagonales $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. La famille $\left(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right)$ engendre $F$, et elle est libre : si $a{E}_{1,1}+d{E}_{2,2}=0$, la lecture des coefficients diagonaux donne $a=0$ et $d=0$.

Donc $\dim (F)=2$.

Ce que le calcul révèle. C'est parce que les deux coefficients diagonaux de $D$ sont distincts que $b$ et $c$ sont contraints : si $D$ valait $I_2$, toute matrice commuterait avec elle et $F$ serait ${\mathcal{M}}_{2,2}(\mathbb{R})$ tout entier.