Les matrices symétriques d’ordre deux

C'est un sous-espace. La matrice nulle vérifie ${}^{t}0=0$, donc $0\in F$. Et si ${}^{t}M=M$ et ${}^{t}N=N$, la transposition étant linéaire : $${}^t(\lambda M+\mu N)=\lambda {}^{t}M+\mu {}^{t}N=\lambda M+\mu N.$$ Les deux conditions de la définition sont remplies.

Description. Écrivons $M=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$. Alors ${}^{t}M=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{array}\right)$, et l'égalité ${}^{t}M=M$ se réduit à la seule condition $\gamma =\beta$ : les coefficients $\alpha$, $\beta$, $\delta$ restent libres. Donc

$$M=\alpha \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)+\delta \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Base. Ces trois matrices engendrent $F$. Elles sont libres : si leur combinaison est nulle, le coefficient en haut à gauche donne $\alpha =0$, celui en haut à droite $\beta =0$, celui en bas à droite $\delta =0$. Donc $\dim (F)=3$ — cohérent avec le décompte : une équation retire un degré de liberté aux quatre de ${\mathcal{M}}_{2,2}(\mathbb{R})$.

Le point à retenir. Un sous-espace décrit par des équations se paramètre, et le paramétrage livre la base tout fait : un vecteur par paramètre libre.