Libre ou liée ?

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 1 — Espaces vectoriels réels de dimension finie · Dimension, bases et coordonnées

Énoncé

La famille $(1 + x, 1 - x, x^{2})$ de $R_{2} [x]$ est-elle libre ? Est-ce une base de $R_{2} [x]$ ?

Corrigé

Supposons $λ (1 + x) + μ (1 - x) + ν x^{2} = 0$ . En regroupant :

$(λ + μ) + (λ - μ) x + ν x^{2} = 0.$

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients le sont, d'où le système $λ + μ = 0$ , $λ - μ = 0$ , $ν = 0$ . Les deux premières équations donnent $λ = μ$ et $λ = - μ$ , donc $λ = μ = 0$ . La famille est libre.

Elle compte $3$ vecteurs et $dim (R_{2} [x]) = 3$ : par le théorème « la moitié du travail suffit », c'est une base. Il était inutile de vérifier qu'elle est génératrice.

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