Libre ou liée ?

Supposons $\lambda (1+x)+\mu (1-x)+\nu x^2=0$. En regroupant :

$$(\lambda +\mu )+(\lambda -\mu )x+\nu x^2=0.$$

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients le sont, d'où le système $\lambda +\mu =0$, $\lambda -\mu =0$, $\nu =0$. Les deux premières équations donnent $\lambda =\mu$ et $\lambda =-\mu$, donc $\lambda =\mu =0$. La famille est libre.

Elle compte $3$ vecteurs et $\dim ({\mathbb{R}}_2[x])=3$ : par le théorème « la moitié du travail suffit », c'est une base. Il était inutile de vérifier qu'elle est génératrice.