Quatre polynômes qui ne font pas une base

Ce qu'on emploie. Le théorème « la moitié du travail suffit » : une famille de $n$ vecteurs d'un espace de dimension $n$ est une base si et seulement si elle est libre. Ici $n=4$, il suffit donc de décider de la liberté.

La famille est liée. Calculons $P_1-P_2+P_3$ : $(1+x)-(x+x^2)+(x^2+x^3)=1+x^3=P_4$. On dispose donc de la relation $P_1-P_2+P_3-P_4=0$, dont les coefficients ne sont pas tous nuls : la famille est liée, ce n'est donc pas une base de ${\mathbb{R}}_3[x]$, bien qu'elle ait le bon nombre d'éléments.

La dimension du sous-espace engendré. La relation ci-dessus s'écrit $P_4=P_1-P_2+P_3$ : le quatrième polynôme est combinaison des trois premiers, donc $$\mathrm{Vect}(P_1,P_2,P_3,P_4)=\mathrm{Vect}(P_1,P_2,P_3).$$ Montrons que $(P_1,P_2,P_3)$ est libre. Supposons ${\lambda }_1{P}_1+{\lambda }_2{P}_2+{\lambda }_3{P}_3=0$, c'est-à-dire $${\lambda }_1+({\lambda }_1+{\lambda }_2)x+({\lambda }_2+{\lambda }_3)x^2+{\lambda }_3{x}^3=0.$$ Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients le sont. Le coefficient constant donne ${\lambda }_1=0$, celui de $x^3$ donne ${\lambda }_3=0$, puis celui de $x$ donne ${\lambda }_2=-{\lambda }_1=0$. La famille est libre, donc la dimension cherchée vaut $3$.

Le point délicat. Compter les vecteurs ne remplace jamais le test de liberté : ici quatre vecteurs dans un espace de dimension quatre n'engendrent qu'un sous-espace de dimension trois.