Quatre vecteurs dans un espace de dimension trois

Le résultat général. Soit $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ une famille de quatre vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$. Son rang est la dimension de $\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_4)$, qui est un sous-espace de ${\mathbb{R}}^3$ : d'après le théorème sur la dimension d'un sous-espace, $\mathrm{rg}(u_1,\dots ,u_4)⩽\dim ({\mathbb{R}}^3)=3$.

Or une famille est libre si et seulement si son rang égale son nombre d'éléments, ici $4$. Comme le rang vaut au plus $3$, il ne peut valoir $4$ : la famille n'est pas libre, donc elle est liée. Le raisonnement n'utilise que la dimension de l'espace d'arrivée, jamais les vecteurs eux-mêmes.

La relation, sur l'exemple. Cherchons ${\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2+{\lambda }_3{u}_3+{\lambda }_4{u}_4=0$. En coordonnées : $$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1+{\lambda }_3+2{\lambda }_4=0\\ {\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_4=0\\ {\lambda }_2+{\lambda }_3+{\lambda }_4=0\end{array}$$ Trois équations, quatre inconnues : le système homogène a nécessairement des solutions non nulles. Prenons ${\lambda }_4=-2$ et résolvons. La deuxième équation donne ${\lambda }_2=2-{\lambda }_1$ ; la troisième donne ${\lambda }_3=2-{\lambda }_2={\lambda }_1$ ; la première devient alors ${\lambda }_1+{\lambda }_1-4=0$, soit ${\lambda }_1=2$. On en déduit ${\lambda }_2=0$ et ${\lambda }_3=2$.

Vérification. $2u_1+2u_3-2u_4=2(1,1,0)+2(1,0,1)-2(2,1,1)=(0,0,0)$. En simplifiant par $2$ : $u_1+u_3=u_4$. La relation existe, comme le théorème le garantissait.