Rang et famille échelonnée

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 1 — Espaces vectoriels réels de dimension finie · Rang d’une famille

Énoncé

Soit $(u_{1}, \dots, u_{p})$ une famille de vecteurs non nuls de $R^{n}$ telle que, pour tout $i$ , la $i$ -ème coordonnée de $u_{i}$ est non nulle et les coordonnées $1, \dots, i - 1$ de $u_{i}$ sont nulles. Montrer que la famille est libre. Que vaut son rang ?

Corrigé

Supposons $λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{p} u_{p} = 0$ et notons $u_{i}^{(k)}$ la $k$ -ème coordonnée de $u_{i}$ .

Première coordonnée. Par hypothèse, $u_{2}, \dots, u_{p}$ ont leur première coordonnée nulle. La première coordonnée de la combinaison vaut donc $λ_{1} u_{1}^{(1)}$ , avec $u_{1}^{(1)} \neq = 0$ . Elle est nulle, donc $λ_{1} = 0$ .

Récurrence. Supposons $λ_{1} = \dots = λ_{i - 1} = 0$ . La $i$ -ème coordonnée de la combinaison se réduit alors à $λ_{i} u_{i}^{(i)}$ , puisque $u_{i + 1}, \dots, u_{p}$ ont leur $i$ -ème coordonnée nulle. Comme $u_{i}^{(i)} \neq = 0$ , on obtient $λ_{i} = 0$ .

Tous les coefficients sont nuls : la famille est libre, et son rang vaut $p$ .

À quoi cela sert. C'est exactement la situation d'une matrice échelonnée : les lignes non nulles d'un échelonnement forment une famille de ce type. Ce petit exercice justifie donc la méthode de calcul du rang du cours — « le rang est le nombre de pivots » n'est pas une recette, c'est ce théorème.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.