Trois candidats sous-espaces

$F_1=\{P(0)=0\}$ : oui. Le polynôme nul convient, et si $P(0)=0$ et $Q(0)=0$ alors $(\lambda P+\mu Q)(0)=\lambda \cdot 0+\mu \cdot 0=0$. Une base : $(x,x^2)$, donc $\dim (F_1)=2$.

$F_2=\{P(0)=1\}$ : non. Le polynôme nul n'y est pas, puisque $0\ne 1$. Une ligne suffit.

$F_3=\{\mathrm{deg}P=2\}$ : non. Le polynôme nul n'y est pas non plus (son degré n'est pas $2$). Et même en l'y ajoutant de force, la stabilité échouerait : $x^2$ et $-x^2+x$ sont de degré $2$, leur somme $x$ ne l'est pas.

La méthode. Tester d'abord l'appartenance de $0_E$ : c'est le test le moins cher et il tranche deux fois sur trois ici.