Trois candidats sous-espaces

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 1 — Espaces vectoriels réels de dimension finie · Sous-espaces vectoriels

Énoncé

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $R_{2} [x]$ ? ${P ∣ P (0) = 0}$ , ${P ∣ P (0) = 1}$ , ${P ∣ P est de degr e ˊ 2}$ .

Corrigé

$F_{1} = {P (0) = 0}$ : oui. Le polynôme nul convient, et si $P (0) = 0$ et $Q (0) = 0$ alors $(λ P + μ Q) (0) = λ \cdot 0 + μ \cdot 0 = 0$ . Une base : $(x, x^{2})$ , donc $dim (F_{1}) = 2$ .

$F_{2} = {P (0) = 1}$ : non. Le polynôme nul n'y est pas, puisque $0 \neq = 1$ . Une ligne suffit.

$F_{3} = {de g P = 2}$ : non. Le polynôme nul n'y est pas non plus (son degré n'est pas $2$ ). Et même en l'y ajoutant de force, la stabilité échouerait : $x^{2}$ et $- x^{2} + x$ sont de degré $2$ , leur somme $x$ ne l'est pas.

La méthode. Tester d'abord l'appartenance de $0_{E}$ : c'est le test le moins cher et il tranche deux fois sur trois ici.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.