Trois matrices, une relation cachée

Le calcul. $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right).$$ On vérifie chaque coefficient : $1+1=2$ en haut à gauche, $1+0=1$ en haut à droite et en bas à gauche, $1+0=1$ en bas à droite.

La famille est liée. Comparons $A^2$ à $A+I_2$ : $$A+I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=A^2.$$ On a donc la relation $A^2-A-I_2=0$, combinaison linéaire nulle de la famille $(I_2,A,A^2)$ dont les coefficients $(-1,-1,1)$ ne sont pas tous nuls. La famille est liée.

La dimension du sous-espace engendré. La relation donne $A^2=A+I_2\in \mathrm{Vect}(I_2,A)$, donc $$\mathrm{Vect}(I_2,A,A^2)=\mathrm{Vect}(I_2,A).$$ Reste à voir si $(I_2,A)$ est libre. Supposons $\lambda I_2+\mu A=0$, c'est-à-dire $$\left(\begin{array}{cc}\lambda +\mu & \mu \\ \mu & \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$ Le coefficient en haut à droite donne $\mu =0$, celui en bas à droite donne $\lambda =0$. La famille $(I_2,A)$ est libre, donc $\dim (\mathrm{Vect}(I_2,A,A^2))=2$.

Le point délicat. Une famille de trois matrices peut être liée sans qu'aucune ne soit multiple d'une autre : la dépendance ne se lit qu'en écrivant la combinaison nulle.