Trois parties de l'espace

$A$ : oui. C'est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène (une seule équation, de second membre nul) : le cours affirme qu'un tel ensemble est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$. On peut le revérifier : $(0,0,0)$ convient car $0+0-0=0$ ; et si $(x,y,z)$ et $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ vérifient l'équation, alors $$(\lambda x+\mu x^{\prime })+2(\lambda y+\mu y^{\prime })-(\lambda z+\mu z^{\prime })=\lambda (x+2y-z)+\mu (x^{\prime }+2y^{\prime }-z^{\prime })=0.$$

$B$ : non. Le vecteur nul $(0,0,0)$ donne $0+0=0\ne 3$ : il n'appartient pas à $B$. Le test de $0_E$ suffit, et il coûte une ligne. $B$ est un plan affine, qui ne passe pas par l'origine.

$C$ : non. Ici $(0,0,0)$ appartient bien à $C$, le test de $0_E$ ne tranche donc pas ; c'est la stabilité qui échoue. Les vecteurs $u=(1,0,0)$ et $v=(0,1,0)$ sont dans $C$ (leurs produits $xy$ valent $0$), mais $$u+v=(1,1,0),\text{dont }xy=1\ne 0.$$ Un seul contre-exemple suffit à abattre la stabilité.

La leçon. L'équation de $C$ n'est pas linéaire : le produit $xy$ trahit immédiatement un candidat suspect. Une partie décrite par des équations linéaires homogènes est un sous-espace ; dès qu'apparaît un carré, un produit ou un second membre non nul, il faut se méfier.