Trois vecteurs dans le plan

Majoration immédiate. Les trois vecteurs vivent dans ${\mathbb{R}}^2$, donc le sous-espace qu'ils engendrent est un sous-espace de ${\mathbb{R}}^2$ : son rang est au plus $\dim ({\mathbb{R}}^2)=2$. La famille compte trois vecteurs, elle est donc nécessairement liée.

Une relation visible. $(2,4)=2\cdot (1,2)$ : le deuxième vecteur n'apporte rien, et $$\mathrm{Vect}((1,2),(2,4),(3,1))=\mathrm{Vect}((1,2),(3,1)).$$

La famille restante est libre. Supposons $\lambda (1,2)+\mu (3,1)=(0,0)$. Les coordonnées donnent $$\lambda +3\mu =0\text{et}2\lambda +\mu =0.$$ La première donne $\lambda =-3\mu$ ; en reportant dans la seconde : $-6\mu +\mu =-5\mu =0$, donc $\mu =0$, puis $\lambda =0$. La famille $((1,2),(3,1))$ est libre.

Conclusion. Le rang vaut $2$, et $((1,2),(3,1))$ est une base du sous-espace engendré. Comme ce rang égale $\dim ({\mathbb{R}}^2)$, ce sous-espace est ${\mathbb{R}}^2$ tout entier : la famille de départ est génératrice de ${\mathbb{R}}^2$ — liée, mais génératrice.