Un motif de matrices

$F$ est un sous-espace vectoriel. Décrivons-le par des équations : une matrice $\left(\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right)$ appartient à $F$ si et seulement si $m_{21}=0$ et $m_{11}-m_{22}=0$. Ce sont deux équations linéaires homogènes sur les coefficients.

La matrice nulle y est : elle correspond à $a=0$ et $b=0$.

Stabilité : soient $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$ et $M^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ 0& a^{\prime }\end{array}\right)$ dans $F$, et $\lambda ,\mu$ réels. Alors $$\lambda M+\mu M^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}\lambda a+\mu a^{\prime }& \lambda b+\mu b^{\prime }\\ 0& \lambda a+\mu a^{\prime }\end{array}\right),$$ qui est encore du même motif (coefficient en bas à gauche nul, coefficients diagonaux égaux). Donc $\lambda M+\mu M^{\prime }\in F$.

Une base. L'écriture $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$ montre que $F=\mathrm{Vect}(I_2,E_{1,2})$. Cette famille est libre : si $a{I}_2+b{E}_{1,2}=0$, le coefficient en bas à droite donne $a=0$, celui en haut à droite donne $b=0$.

Donc $(I_2,E_{1,2})$ est une base de $F$ et $\dim (F)=2$.

Contrôle. $\dim ({\mathcal{M}}_{2,2}(\mathbb{R}))=4$, deux équations indépendantes : $4-2=2$.