Un rang à la main

On range les vecteurs en lignes et on échelonne :

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 1& 1\\ 2& 1& 3& 5\\ 1& 1& 2& 3\end{array}\right)\underset{L_4\leftarrow L_4-L_1}{\overset{L_3\leftarrow L_3-2L_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\end{array}\right)\underset{L_4\leftarrow L_4-L_2}{\overset{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Deux lignes non nulles : $\mathrm{rg}(u_1,u_2,u_3,u_4)=2$.

Les deux pivots occupent les positions issues de $u_1$ et $u_2$ : la famille $(u_1,u_2)$ est libre et engendre le même sous-espace, c'en est donc une base.

Les relations, en clair : $u_3=2u_1+u_2$ et $u_4=u_1+u_2$. On les lit dans les opérations effectuées, et il est prudent de les vérifier coordonnée par coordonnée : $2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$. C'est bien $u_3$.