Un sous-espace décrit par une équation

Sous-espace. $F$ est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène : c'est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$ par la proposition du cours.

Résolution. Prenons $y$ et $z$ comme paramètres. Les équations donnent $x=z-y$ et $t=-y$. Donc

$$(x,y,z,t)=(z-y,y,z,-y)=y(-1,1,0,-1)+z(1,0,1,0).$$

Ainsi $F=\mathrm{Vect}((-1,1,0,-1),(1,0,1,0))$.

Base. Ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels (le premier a une quatrième coordonnée non nulle, le second l'a nulle) : la famille est libre, donc c'est une base et $\dim (F)=2$.

Contrôle. Deux équations indépendantes dans ${\mathbb{R}}^4$ retirent deux degrés de liberté : $4-2=2$. La dimension trouvée est cohérente.