Une base adaptée aux polynômes

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 1 — Espaces vectoriels réels de dimension finie · Dimension, bases et coordonnées

Énoncé

Montrer que $(1, x - 2, (x - 2)^{2})$ est une base de $R_{2} [x]$ , puis donner les coordonnées de $P = x^{2}$ dans cette base.

Corrigé

Base. Les trois polynômes ont des degrés distincts $0$ , $1$ , $2$ : la famille est libre. Elle compte $3$ éléments et $dim (R_{2} [x]) = 3$ , c'est donc une base.

Coordonnées de $x^{2}$ . On cherche $a, b, c$ tels que $x^{2} = a + b (x - 2) + c (x - 2)^{2}$ . Le plus court est d'évaluer et de dériver en $2$ :

$P (2) = 4 = a, P^{'} (x) = 2 x, P^{'} (2) = 4 = b, P^{''} (x) = 2, P^{''} (2) = 2 = 2 c \Rightarrow c = 1.$

Donc $x^{2} = 4 + 4 (x - 2) + (x - 2)^{2}$ , et la colonne des coordonnées est $^{t} (4, 4, 1)$ .

Vérification. $4 + 4 x - 8 + x^{2} - 4 x + 4 = x^{2}$ . C'est bien $P$ .

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