Une base selon un paramètre

La famille compte $3$ vecteurs et $\dim ({\mathbb{R}}^3)=3$ : par le théorème « la moitié du travail suffit », il n'y a qu'à déterminer quand elle est libre.

Échelonnement. On range les trois vecteurs en lignes :

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& a& 0\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& a-2& -1\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-(a-2)L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1-a\end{array}\right).$$

Le troisième pivot vaut $1-a$, et lui seul dépend du paramètre.

Si $a\ne 1$ : trois pivots non nuls, le rang vaut $3$, la famille est libre, donc c'est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

Si $a=1$ : la dernière ligne est nulle, le rang tombe à $2$, la famille est liée. La relation se vérifie coordonnée par coordonnée : $(1,2,1)-(0,1,1)=(1,1,0)$. Le troisième vecteur est dans le plan des deux premiers.

Le point à retenir. Une famille dont le cardinal égale la dimension est une base exactement quand son rang est maximal — et toute la discussion se concentre sur le dernier pivot, seul à contenir le paramètre.