Une famille dont le rang dépend d'un paramètre

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 1 — Espaces vectoriels réels de dimension finie · Rang d’une famille

Énoncé

Soit $a \in R$ . Déterminer, selon $a$ , le rang de la famille de $R^{3}$

$u_{1} = (111), u_{2} = (1 a 1), u_{3} = (11 a) .$

Corrigé

On échelonne en lignes :

$111 1 a 1 11 a L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} 100 1 a - 1 0 10 a - 1 .$

Si $a \neq = 1$ : les trois lignes sont non nulles, le rang vaut $3$ . La famille est alors une base de $R^{3}$ .

Si $a = 1$ : les deux dernières lignes sont nulles, le rang vaut $1$ . Et c'est cohérent : pour $a = 1$ , les trois vecteurs sont tous égaux à $(1, 1, 1)$ .

Ce qu'il faut remarquer. Le rang ne passe pas par la valeur $2$ : il saute de $3$ à $1$ . Une famille dont le rang dépend d'un paramètre n'a aucune raison de décroître d'un cran à la fois — ici les deux pivots s'annulent simultanément, pour la même valeur de $a$ .

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