Une famille dont le rang dépend d'un paramètre

On échelonne en lignes :

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)\underset{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\overset{L_2\leftarrow L_2-L_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& a-1& 0\\ 0& 0& a-1\end{array}\right).$$

Si $a\ne 1$ : les trois lignes sont non nulles, le rang vaut $3$. La famille est alors une base de ${\mathbb{R}}^3$.

Si $a=1$ : les deux dernières lignes sont nulles, le rang vaut $1$. Et c'est cohérent : pour $a=1$, les trois vecteurs sont tous égaux à $(1,1,1)$.

Ce qu'il faut remarquer. Le rang ne passe pas par la valeur $2$ : il saute de $3$ à $1$. Une famille dont le rang dépend d'un paramètre n'a aucune raison de décroître d'un cran à la fois — ici les deux pivots s'annulent simultanément, pour la même valeur de $a$.