Une intersection dans ${\mathbb{R}}^4$

$\dim (F)=3$. Supposons $a(1,1,0,0)+b(0,1,1,0)+c(0,0,1,1)=0$. La première coordonnée donne $a=0$, la quatrième $c=0$, et il reste $b(0,1,1,0)=0$, donc $b=0$. La famille génératrice est libre : c'est une base de $F$.

$\dim (G)=3$. $G$ est l'ensemble des solutions d'une équation linéaire homogène non triviale de ${\mathbb{R}}^4$ : c'est un sous-espace vectoriel, et l'équation retire exactement un degré de liberté, $4-1=3$.