Une somme qui trahit la dépendance

Une relation, vérifiée coordonnée par coordonnée. $$u_1+u_2=(1+0,0+1,1+1)=(1,1,2)=u_3.$$ Donc $u_1+u_2-u_3=0$ : la famille est liée, et $u_3$ est combinaison linéaire de $u_1$ et $u_2$. Par conséquent $$\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3)=\mathrm{Vect}(u_1,u_2).$$

La famille $(u_1,u_2)$ est libre. Supposons $\lambda u_1+\mu u_2=(0,0,0)$. La première coordonnée vaut $\lambda$, donc $\lambda =0$ ; la deuxième vaut $\mu$, donc $\mu =0$. (La troisième, $\lambda +\mu$, est alors automatiquement nulle : elle ne sert pas.)

Conclusion. $(u_1,u_2)$ est une base de $\mathrm{Vect}(u_1,u_2,u_3)$, et $$\mathrm{rg}(u_1,u_2,u_3)=2.$$ Le sous-espace engendré est un plan de ${\mathbb{R}}^3$ : les trois vecteurs sont coplanaires, sans qu'aucun ne soit multiple d'un autre.

Méthode alternative. On aurait pu ranger les trois vecteurs en lignes et échelonner ; l'opération $L_3\leftarrow L_3-L_1-L_2$ annule la troisième ligne, et il reste deux lignes non nulles, donc deux pivots. On retrouve $\mathrm{rg}=2$.