Une somme qui trahit la dépendance

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 1 — Espaces vectoriels réels de dimension finie · Premiers calculs de rang

Énoncé

Déterminer le rang de la famille $u_{1} = (1, 0, 1)$ , $u_{2} = (0, 1, 1)$ , $u_{3} = (1, 1, 2)$ de $R^{3}$ , et une base de $Vect (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ .

Corrigé

Une relation, vérifiée coordonnée par coordonnée. $u_{1} + u_{2} = (1 + 0, 0 + 1, 1 + 1) = (1, 1, 2) = u_{3} .$ Donc $u_{1} + u_{2} - u_{3} = 0$ : la famille est liée, et $u_{3}$ est combinaison linéaire de $u_{1}$ et $u_{2}$ . Par conséquent $Vect (u_{1}, u_{2}, u_{3}) = Vect (u_{1}, u_{2}) .$

La famille $(u_{1}, u_{2})$ est libre. Supposons $λ u_{1} + μ u_{2} = (0, 0, 0)$ . La première coordonnée vaut $λ$ , donc $λ = 0$ ; la deuxième vaut $μ$ , donc $μ = 0$ . (La troisième, $λ + μ$ , est alors automatiquement nulle : elle ne sert pas.)

Conclusion. $(u_{1}, u_{2})$ est une base de $Vect (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , et $rg (u_{1}, u_{2}, u_{3}) = 2.$ Le sous-espace engendré est un plan de $R^{3}$ : les trois vecteurs sont coplanaires, sans qu'aucun ne soit multiple d'un autre.

Méthode alternative. On aurait pu ranger les trois vecteurs en lignes et échelonner ; l'opération $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} - L_{2}$ annule la troisième ligne, et il reste deux lignes non nulles, donc deux pivots. On retrouve $rg = 2$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.