Deux fonctions, une seule densité

Le critère. Une fonction est une densité lorsqu'elle est positive, continue sur $\mathbb{R}$ sauf en un nombre fini de points, et d'intégrale égale à $1$ sur $\mathbb{R}$. Les trois conditions sont nécessaires.

La fonction $f$. Pour $t\in ]0,1]$, $f(t)=-t<0$ : la fonction prend des valeurs strictement négatives. Ce seul fait suffit à conclure : $f$ n'est pas une densité. Une densité est positive parce que les probabilités le sont — l'aire sous une portion de courbe ne peut pas être négative.

On remarque au passage que son intégrale vaut ${\int }_0^1(-t)\mathrm{d}t=-\frac{1}{2}$, donc ni le signe ni l'aire ne conviennent.

La fonction $g$. Elle est positive sur $[0,2]$ (car $t⩾0$ et le coefficient $\frac{1}{2}$ l'est), continue sur $\mathbb{R}$ sauf en $0$ et $2$, et $${\int }_0^2\frac{t}{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\left[\frac{t^2}{2}\right]}_0^2=\frac{1}{2}\times 2=1.$$ Les trois conditions sont vérifiées : $g$ est une densité.

Ce qu'il faut retenir. Vérifier l'aire ne suffit jamais : le signe se contrôle d'abord. Et réciproquement, une fonction positive dont l'intégrale ne vaut pas $1$ n'est pas une densité non plus — il faut alors la multiplier par la bonne constante, quand c'est possible.